BAB V. PERSAMAAN PARAMETRIK.

PERSAMAAN PARAMETRIK.

Assalamualikum , temam-teman hari ini aku mau ngepost lagi nih, jangan bosen-boden yach..: )

 Apa lagi dalam menuntut ilmu ... Nah kali ini saya akan berbagi tentang persamaan parametrik , apasih itu persamamaan parametrik ?? yuk sama-sama dibacaa. : )

                                                    PERSAMAAN PARAMETRIK

1. SIMULASI

Perhatikan gerak pada suatu partikel sepanjang garis lurus , atau suatu partikel yang bergerak sepanjang sebuah garis koordinat , Misalkan S= f(t) adalah suatu fungsi posisi f yang menentukan jarak berarah dari partikel sejauh s dari titik asal pada akhir satuan waktu, maka kecepatan partikel pada saat t adalah:

V=V(t) , yaitu turunan pertama dari f(t) terhadap t

Laju (Besarnya kecepatan) adalah |V| yakni nilai mutlak dari kecepatan.

percepatan sebuah partikel yang bergerak adlah kecepatan perubahan terhadap waktu dan kecepatanya yang ditentukan oleh a=a(t)= =V(t) , yaitu turunan pertama dari V(t) terhadap t.

Karena V(t) = f(t), maka a(t)=(f(t) = f(t), yaitu turunan kedua dari f(t) terhadap t.

S=f(t), V=V(t) dan a=a(t) dengan t suatu interval waktu, Misalnya t[a,b] adalah suatu contoh persamaan parametrik dengan parameter t

2. PENGERTIAN

Parametrik  adalah fungsi yang dipengaruhi oleh paramater tertentu. misalnya ” t” . Jadi bukan lagi y=f(x) akan tetapi x=f(t) dan y=g(t). Perlunya menggunakan fungsi parametrik adalah karena suatu kurva berubah posisi koordinatnya (x,y) lebih karena dipengaruhi oleh faktor “t”. Sehingga kadang kurva terlihat begitu rumit, model kurva ini dibagi menjadi 4 kelompok

Berikut ini contoh sebuah fungsi parametrik dan bagaimana membuat gambarnya

Untuk membuat gambarnya, lebih mudah untuk membuat tabel 3 kolom seperti dibawah ini kemudian baru digambar. Buatlah titik-titik koordinat (x,y) hasil dari memasukkan nilai “t” ke dalam persamaan f(t) dan g(t), kemudian dilanjutkan dengan membentuk kurva yang mulus

Terlihat dari gambar di atas, adalah sebuah kurva parabola. Dan kita bisa mengetahui persamaan parametrik di atas merupakan persamaan parabola atau bukan, dengan mengeliminasi paramater “t”. Caranya sebagai berikut

Contoh lain cara menghilangkan parameter dalam persamaan parametrik

Juga contoh berikut

Aplikasi Turunan dan Integral pada Persamaan Parametrik

Seperti halnya persamaan dalam bentuk y=f(x), maka persamaan parametrik juga bisa diturunkan dan juga diintegralkan. Akan tetapi harus mengikuti beberapa cara berikut

Penurunan Funsi Parametrik

Untuk lebih jelasnya, mari kita perhatikan contoh berikut

 RANGKUMAN:
BENTUK PERSAMAAN PARAMETRIK DARI SUATU KURVA BIDANG ADALAH:

jenis-jenis bidang ada 4 macam, yaitu
(1)kurva tertutup sederhana
(2)kurva tetutup tidak sederhana
(3)kurva tidak tertutup dan sederhana
(4)kurva tidak tertutup dan tidak sederhana

suatu kurva dikatakan tertutup apabila tititk ujung dan titik pangkalnya berhimpit, apabila kurva tersebut tidak mempunyai titik potong (dua nilai atau lebih memberikan titik-titik yang sama.

persamaan parametrik suatu kurva dapat dinyatakan ke dalam persamaan kartesius dengan cara melenyapkan parameternya. untuk melenyapkan parameternya, kadang menggunakan cara mensubstitusikan atau menentukan hubungan dari parameternya.

setiap persamaan kartesius dapat dinyatakan sebagai persamaan parameter dan sebaiknya kadang-kadang suatu kurva dapat dinyatakan dengan persamaan parameter yang sederhana,tetapi jika dinyatakan dalam persamaan kartesius menjadi lebih rumit, kurva dari suatu persamaan parametrik merupakan kurva berarah.
untuk contoh kurva bisa dilihat gambar diatas.

Sementara sampai disini materi untuk pertemua kali ini.

Wassalamu’alaikum wR wB.

BAB III. ELIPS, PARABOLA DAN HIPERBOLA

Hay guys, pada bab ini kita akan membahas tentang elips,parabola, dan hiperbola
teman-teman pasti sudah melihat bentuk elips,parabola maupun hiperbola  dalam kehidupan nyata kan...!!
pasti sudah dong!! nah untuk lebih pahamnya lagi yukk ikuti blog kita....
nih contoh  pengaplikasiannya dalam kehidupan kita....

gambar diatas menujukan salah satu dari sekian banyak bentuk elips

Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola.

A. Elips

    Elips adalah himpunan semua titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya dari definisi tersebut. 

 

Titik F₁ dan F₂ disebut titik apu atau fokus.

AB disebut sumbu panjang : |AB| = 2a

CD disebut sumbu pendek

Titik-titik A, B, C dan D disebut puncak-puncak ellips.

|TF₁| + |TF₂| = PQ = 2a

Kedua ruas dikuadratkan :

Kedua ruas dikuadratkan lagi :

Karena a > 0 maka a² - c² > 0 maka a² - c² = b²

merupakan persamaan elips dengan pusat O(0,0) yang sumbu panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.

Contoh :
Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut ini :
a) 9x² + 25y² = 900
Jawab:




B. Parabola

Parabola adalah kedudukan titik-titik yang bergerak sama dari suatu titik dan suatu garis tertentu. 

• Titik itu disebut fokus/titik api (F)
• Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
• Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola
• Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
• Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu simetri

Contoh gambar:

Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1

Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1

Contoh :
Tentukan persamaan parabola dengan puncak (0,0), sumbu x sebagai sumbu simetri dan melalui titik (4, -8).
Jawab :
Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan sumbu x sebagai sumbu simetri adalah y² = 4px.
Sekarang kita perhatikan parabola melalui titik ( 4 , -8) berarti x = 4 dan y = -8. Kemudian nilai – nilai ini kita masukkan ke persamaan parabola.

y² = 4px

(-8)² = 4p.4

64 = 16p

p =

p = 4

jadi, persamaan parabola tersebut adalah y² = 4px y² = 16x.


C. Hiperbola 

Hiperbola adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang dimana selisih jarak titik terhadap dua titik fokusnya (F1 dan F2 ) konstan.

                                                         

                                                                                

1. Persamaan Hiperbola

 

 

 2.  Aplikasi Hiperbola

•   Hiperbola sering muncul sebagai grafik dari persamaan-persamaan kimia, fisika, biologi dan ekonomi (Hukum Boyle, Hukum Ohm, kurva permintaan dan penawaran)

•   Sebuah aplikasi khusus dari hiperbola yaitu sistem navigasi pada Perang Dunia I and II

 

Contoh:
       Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui puncaknya P₁(-5, 0) dan P₂(5, 0) serta fokusnya F₁(-8,0) dan F₂(8, 0) !
Jawab:
Puncak (, 0), maka a = 5
Fokus (, 0), maka c = 8
b² = c² – a² = 64 -25 = 39
Persamaan hiperbola :