Geometri Analitik: BAB VI KOORDINAT KARTESIUS, VEKTOR DAN PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI

A. Koordinat Kartesius dan Vektor dan Ruang Dimensi Tiga

Untuk menentukan letak suatu titik dalam ruang dimensi tiga diperlukan patokan mula. Salah satu patokan mula yang diambil adalah tiga garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus, yang biasanya diberi nama dengan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Sistem ini dinamakan sistem koordinat Kartesius dalam ruang dimensi tiga.

Tiap dua sumbu menentukan sebuah bidang yang dinamakan bidang koordinat. Tiga bidang koordinat, yaitu xy, xz, dan yz membagi ruang menjadi 8 ruang bagian yang masing masing disebut oktan.

Oktan oktan V, VI, VII, dan VIII berturut turut tepat di bawah oktan oktan I, II, III, IV (lihat gambar)

Dari gambar kita dapat simpulkan dimana letak oktan I-VIII, sebagai berikut:
Oktan I terletak pada (X⁺, Y⁺, Z⁺)
Oktan II terletak pada (X⁺, Y^–, Z⁺)
Oktan III terletak pada (X^–, Y^–, Z⁺)
Oktan IV terletak pada (X^–, Y⁺, Z⁺)
Oktan V terletak pada (X⁺, Y⁺, Z^–)
Oktan VI terletak pada (X⁺, Y^–, Z^–)
Oktan VII terletak pada (X^–, Y^–, Z^–)
Oktan VIII terletak pada (X^–, Y⁺, Z^–)
Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang bidang koordinat yz, xz, dan xy dan arah positif dan negatif. Oleh karena itu suatu titik tertentu oleh pasangan (tripel) tiga bilangan, misalnya titik P(x,y,z). Pasangan pertama, yaitu x disebut koordinat x atau absis. Pasangan kedua, yaitu y disebut koordinat y atau ordinat dan pasangan ketiga disebut koordinat z atau aplikat. Pada gambar gambar berikut berturut turur contoh letak P(2,3,4)

Contoh:

1. x + 2y + z = 4

2. x + 2z = 6

3. x + 3y = 9

"titik potong bidang xy=tak hingga, karena bidang berimpit dengan sumbu x dan y"

perpotongan bidang, menghasilkan garis.

B. Jarak dua titik pada koordinat kartesius dimensi tiga
Jarak titik asal O ke titik P (x₁, y₁, z₁) adalah

Jarak dua titik sebarang, misalnya titik P (x₁, y₁, z₁) dan Q (x₂, y₂, z₂) adalah

C. Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga

Perbedaan antara vektor pada dimensi tiga dan dua hanya terletak pada banyak komponennya. Pada bidang suatu titik A dapat dinyatakan dengan dua koordinat yaitu absis dan ordinat, misalnya A (a,b). Vektor posisi untuk titik A adalah a = <a , b> = ai + bj. Tetapi dalam ruang dimensi tiga sautu posisi dinyatakan dalam tiga komponen, yaitu absis, ordinat dan aplikat. Misal B (a, b, c ). Vector posisi (terhadap titik O) dari B adalah b = <a, b, c> = ai + bj +ck. Vektor-vektor basis i, j, k berturut-turut adalah vector-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu x positif, y positif, dan z positif.

Panjang vector dalam Ruang Dimensi Tiga
Jika a = <x₁, y₁, z₁> adalah vector posisi titik A dan b = (x₂, y₂, z₂) vector posisi titik B, maka
|AB|= b – a

Perkalian dua vector dalam koordinat kartesius dimensi tiga
u . v = |u| |v| cos θ dengan 0 < θ < π
atau
u . v = u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃

contonya:

x+2y+z=4

dengan vektornya terletak pada bidang, seperti gambar berikut

Semua sifat penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar yang berlaku dalam bidang datar (ruang dimensi dua) berlaku pula untuk vektor dalam ruang dimensi tiga.