Bab II GARIS LURUS LANJUTAN DAN LINGKARAN

Apa sih maksudnya garis sebagai kurva berderajat satu??

Eiiitzz jangan bingung dulu ya, disini ana ingin berbagi sama teman-teman semua tentang kurva berderajat satu. Yuuuuuk check it out..

1. Kurva Berderajat Satu

 a.Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi

Nah sebelum  saya menjelaskan tentang pembahasan kita kali ini, saya akan me review ulang tentang garis nih, masih ada yang ingat?? Oke langsung aja ya..

• Garis, dilambangkan dengan simbol  , apabila garis tersebut terbentuk melalui dua titik A dan titik B, mempunyai panjang tapi tidak lebar maupun ketebalan. Suatu garis bisa lurus,melengkung,maupun kombinasi dari keduanya. Garis lurus terbentuk oleh suatu titik yang selalu bergerak ke arah yang sama. Suatu garis lurus dapat diperpanjang ke segala arah secara tidak terbatas.   Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya. Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai : 

Ax + By + C = 0 

untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil.Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.Dalam menentukan persamaan garis lurus melalui tiga titik dapat menggunakan cara substitusi ataupun eleminasi.

•    Sudut inkilinasi dan gradien 

Apa itu sudut inklinasi??

Sudut inklinasi (angle of inclination) adalah sudut yang terbentuk antara garis dan sumbu x yang bernilai positif , dan biasanya dinotasikan dengan sudut ɑ.

sudut inklinasi

besar sudut yang terbentuk akan mempengaruhi kemiringan garis.

• Gradien (slope of the line) adalah Kemiringan suatu garis dan dinyatakan oleh notasi m. Nilai gradien suatu garis dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku namun dengan memperhatikan interval nilai sudut yang dibentuk oleh garis terhadap sumbu x positif. Perhatikan gambar sebuah garis berikut.

gradien suatu garis

Garis tersebut melalui dua titik yaitu P1(x1, y 1) dan P2(x2, y 2). Sudut yang dibentuk garis P1P2  adalah ɑ.. Pada gambar terlihat sebuah segitiga siku-siku dengan hipotenusa P1P2, panjang sisi alas x2  -  x1  dan panjang sisi tegak y2  -  y1. Nilai tangent sudut  ɑ.  dapat ditentukan sebagai perbandingan antara panjang sisi tegak terhadap panjang sisi alas segitiga siku-siku. Sehingga dapat dirumuskan :

Jadi nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut     inklanasi adalah nilai arc tan dari gradien garis. Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari  x  di mana  xadalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut :

Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

Kita juga bisa menentukan persamaan garis lurus dengan menggunakan persamaan lain seperti:

         apabila melalui satu titik

       apabila melalui dua titik

        membutukan tiga titik

y = mx+c

   bergradien melalui satu titik

Catatan:

•       Apabila bentuk garis dari kiri bawah ke kanan atas (  / ) maka gradien bernilai (+) positif

•       Apabila bentuk garis kiri atas ke kanan bawah (  \  ) maka gradien bernilai (-) negatif

•    Apabila bentuk garis sejajar terhadap sumbu x (­–) maka gradien bernilai 0

•  Apabila bentuk garis horizontal terhadap sumbu y ( | ) maka gradien tidak terdefinisi

      b.  Sifat-sifat Garis dalam Bidang : Kesejajaran dan Perpotongan

 Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri Euclide meliputi garis-garis yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui  kedua garis. Dua garis tidak berpotongan disebut saling sejajar.

Perhatikan gambar berikut:

Gambar di atas memperlihatkan bahwa garis-garis bergradien positif atau negatif memotong sumbu x dan sumbu y masing-masing di satu titik.  Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x ditentukan dengan mensubstitusikan nilai y = 0 ke dalam persamaan garis. Perpotongan garis

tersebut dengan sumbu y ditentukan dengan cara mensubstitusikan

nilai x = 0 ke dalam persamaan garis.  Sedangkan garis sejajar sumbu x hanya memotong sumbu y dan tidak memotong sumbu x.

Garis sejajar sumbu y hanya memotong sumbu x dan tidak  memotong sumbu y.Tabel berikut meringkas hubungan persamaan garis dan titik-titik potong garis terhadap sumbu x dan sumbu y.

Jika dua buah garis berpotongan maka akan terbentuk empat buah

sudut yang berpangkal di titik sudut yang sama yaitu titik potong. hubungan keempat sudut tersebut adalah sudut berpelurus dan sudut bertolak belakang.

Teorema-teorema tentang garis sebagai persamaan kurva berderajat satu sebagai berikut.

hubungan garis-garis berdasarkan gradien dan sudut yang dibentuk antara dua garis adalah sebagai berikut

•   “dua garis sejajar jika dan hanya jika gradien kedua garis sama. Akibatnya besar sudut inklinasi kedua garis juga sama”..

•   ”dua garis berpotongan tegak lurus membentuk sudut siku-siku jika dan hanya jika hasil kali gradien kedua garis bernilai -1”.

•   jika dua garis berpotongan tegak lurus maka sudut yang dibentuk kedua garis tersebut yaitu sudut siku-siku 90˚

    c. Persamaan Normal Sebuah Garis.

Sebuah garis  yang memotong sumbu x dan

sumbu y akan  tegak lurus terhadap sebuah ruas garis

yang melalui titik asal (0, 0). Perhatikan gambar berikut:

garis normal suatu garis yang memotong sumbu x dan sumbu y

Gambar tersebut memperlihatkan sebuah garis  l yang memotong sumbu x di A (a, 0) dan tegak lurus terhadap ruas garis di mana O(0, 0) dan R titik pada garis  l. Besar sudut β menyatakan ukuran sudut inklinasi garis RO.  Garis RO disebut garis normal dari garis  l. Sedangkan nilai p menunjukkan panjang ruas garis   Maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ARO di mana . Sehingga sudut inklinasi garis l yaitu

Kemiringan garis l ditentukan oleh

Karena segitiga ARO adalah segitiga siku-siku dengan hipotenusa   maka =  sehingga =  Jadi koordinat titik A di

Dengan demikian garis  l  memiliki gradien    dan melalui titik A sehingga substitusi ke dalam persamaan garis y - y0 = m(x - x0) menghasilkan persamaan normal :

Jika persamaan garis dinyatakan sebagai persamaan kurva berderajat satu Ax + By + C = 0 maka

Dengan menggunakan identitas trigonometri  dilakukan manipulasi aljabar sebagai berikut.

Koordinat titik potong garis dan sumbu x yaitu dan diperoleh

 

2. LINGKARAN
Lingkaran termasuk kedalam kurva berderajat dua, dimana lingkaran adalah garis melengkung yang kedua ujungnya bertemu pada jarak yang sama dari titik pusat. Lingkaran adalah contoh kurv a tertutup sederhana yang merupakan himpunan titik pada ruang dua dimensi yang berjarak sama dengan suatu titik tertentu yang panjangnya sama.
 

Lingkaran dengan titik pusat C (a, b), jari-jari r, dan ada titik pada lingkarang P(x, y)

Konsep Jarak : 

CP = r = √( x - a )² + ( y - b )² 

(x - a)²  + (y – b)²  = r² 

x²  – 2ax + a²  + y²  – 2by + b² = r²

x² – 2ax + y² – 2by + a² + b² – r² = 0

A = 1, B = 1, C = 0, D = -2a, E = -2b, F = a + b – r

Persamaan umum lingkaran (x - 2) + (y – b) = r 

Kedudukan titik-tik yang bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap akan membentuk irisan kerucut (conic section). 

1. Bentuk Umum Irisan Kerucut sebagai Kurva Berderajat Dua

Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut :

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak nol.

• Garis Singgung Dua Lingkaran
  

       hay guys pernah lihat mesin giling ataupun roda sepeda? Bila teman-teman lihat lagi di sepeda terdapat rantai yang menghubungkan antara gear roda dengan gear pedal. Nah dua roda gear itulah yang disebut dua lingkaran dan rantai itu desebut garis singgungnya. Lebih tepatnya garis singggung persekutuan luar. Jadi dapat diartikan bahwa garis singgung lingkaran adalah garis yang tepat menyinggung dua lingkaran. Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. 

Pada gambar di atas tampak bahwa garis k tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis k adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung lingkaran.

•   Garis Singgung persekutuan dalam lingkaran

   Garis Singgung persekutuan dalam lingkaran adalah garis singgung 2 lingkaran yang  memotong garis 2 titik pusat

2. Garis Singgung persekutuan luar lingkaran

Garis Singgung persekutuan luar lingkaran adalah garis singgung 2 lingkaran yang   tidak memotong garis 2 titik pusat

contoh 1 : 

1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y - x +3 = 0 adalah...
Pembahasan :
L = x² + y² = 25 ..... (1)
2y - x +3 = 0 atau y = 1/2 x - 3/2 sehingga mk = 1/2
Garis singgung g tegak lurus k maka mg = - 1/mk maka mg = - 2
Persamaan garis singgung g adalah y = mx + n = - 2x + n .....(2)

x² + y² = 25
x² + (- 2x + n)² = 25
5x² - 4nx + (n² - 25) = 0
a = 5, b = - 4n, c = (n² - 25)

Syarat menyinggung D = 0
b² - 4 ac = 0 atau b² = 4ac
(- 4n)² = 4 . 5 . (n² - 25)
16n² = 20n² - 500
4n² = 500
n² = 125
n = ± √125
n = ± 5√5 ....(3)

Subtitusi 3 ke 2
y = - 2x + n
Garis singgung 1 : y = - 2x + 5√5
Garis singgung 2 : y = - 2x - 5√5