BAB I Titik dan Kurva Pada Sistem Koordinat

Assalamualaikum wr.wb.salam hangat dari saya,salam semangat,dan sukses.

1.    SEJARAH GEOMETRI ANALITIK

Eh pada tau gak ni apa itu geometri analitik??

Geometri dan analitik, kalau geometri sendiri pasti seringdenger kan?? Gak asing tu kata, dari kelas VII juga, iyaa kan?? Terus kalau analitik sendiri apa ya?? Ehh yuk langsung aja deh ana kasih tau ^_^..

Geometri analitik merupakan kajian terhadap obyek-obyek geometri dengan menggunakan sistem koordinat yang diulas menggunakan konsep dan prinsip aljabar dan analisis. Perkembangan geometri analitik dimulai dengan kehadiran bentuk baru persamaan (equation) Bentuk baru persamaan tersebut memungkinkan untuk mengklasifikasikan kurva berdasarkan derajat (degree). Kurva berderajat satu adalah garis lurus (straight lines), kurva berderajat dua merupakan irisan kerucut (conic sections), dan kurva berderajat tiga dinamakan kurva kubik (cubic curves).

Descartes (sekitar tahun 1637) menggunakan bentuk baru persamaan tersebut untuk mengubah masalah-masalah geometri menjadi masalah aljabar menggunakan koordinat sehingga dapat diselesaikan dengan manipulasi aljabar.

Ide awal geometri analitik adalah penyajian kurva sebagai persamaan, yang selanjutnya dikembangkan untuk memperluas berbagai teknik manipulasi aljabar sehingga dari persamaan tersebut diperoleh informasi mengenai kurva.

Geometri analitik diaplikasikan dalam berbagai ilmu pengetahuan sains dan teknologi. Sejak tahun 1985, geometri analitik digunakan oleh para ilmuwan untuk menyelesaikan masalah kriptografi yaitu untuk menuliskan pesan dalam kode rahasia. Ilmuwan biologi menggunakan geometri analitik dalam bidang spektroskopi. Di bidang geografi, geometri digunakan untuk membuat peta, pengidentifikasian latitude dan longitude, serta pengembangan global positioning system (GPS). Dan masih banyak lagi ilmuwan- ilmuwan yang menyelesaikan permasalahan dalam bidangnya yang menngunakan geometri analitik ini.

     2. Pemecahan permasalahan mengunakan metode polya.

Pemecahan masalah (problem solving) merupakan suatu prosedur untuk menemukan penyelesaian yang tepat atas suatu masalah. Prosedur tersebut pertama kali diformulasikan oleh George Polya (1887 - 1985) seorang guru dan ahli matematika yang menyatakan bahwa ada empat tahap pemecahan masalah yaitu :  understand the problem, devise a plan, carry out the plan, dan look back sebagai berikut :

1)        Understanding the Problem

Tahap pertama yang dilakukan untuk memecahkan masalah adalah memahami masalah. Cara yang disarankan Polya untuk memahami masalah dengan baik yaitu dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut :

a.         Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

b.        Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

c.         Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?

d.        Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?

e.         Informasi apa saja yang tidak ada / hilang dari permasalahan itu ?

f.         Informasi apa saja yang tidak dibutuhkan dari permasalahan itu ?

2)        Devising a Plan

Tahap kedua pemecahan masalah adalah menentukan rencana penyelesaian berupa strategi-strategi pemecahan masalah. Beberapa strategi pemecahan masalah antara lain :

a.    Menemukan pola

b.    Menguji masalah yang relevan dan memeriksa apakah teknik yang sama dapat   digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

c.  Menguji masalah yang lebih sederhana atau khusus dari permasalahan itu dan diperbandingkan dengan penyelesaian masalah sebenarnya

d.     Membuat tabel

e.     Membuat diagram / gambar

f.      Menebak dan memeriksa (guess and check / trial and error)

g.      Menggunakan persamaan (equation) matematika

h.      Bekerja mundur (work backward)

i.        Mengidentifikasi bagian dari hasil (subgoal)

3)        Carrying Out the Plan

Tahap ketiga pemecahan masalah terdiri dari tiga aktivitas yaitu :

a.         Menerapkan satu atau lebih strategi pemecahan masalah untuk menemukan penyelesaian atau perhitungan

b.        Memeriksa setiap langkah strategi yang digunakan baik secara intuitif maupun dengan bukti formal

c.         Menjaga keakuratan proses pemecahan masalah

4)        Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :

a.    Memeriksa dengan pembuktian

b.   Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan berdasarkan rasional atau pun argumentasi (reasonable)

Jika memungkinkan lakukan pengujian untuk masalah lain yang relevan atau pun yang lebih umum dengan menggunakan teknik/strategi pemecahan masalah tersebut

     3.  Kedudukan Titik-titik dan Jarak antara Dua Titik

Baiklah sebelum kita membahas materi diatas saya akan mengingatkan kembali tentang apa itu titik,bagaimana sifat-sifatnya.

•       Titik adalah objek yang tidak terdefinisi,yang didalamnya terdapat sifat-sifat sevagai berikut:

Ø  Tidak memiliki panjang,

Ø  Mempunyai kedudukan,

Ø  Dilambangkan dengan noktah (tanda),

Ø  Tidak memiliki besaran,tinggi,lebar,ataupun ketebalan,

Ø  Dan di namai dengan huruf  kapital.

Titik-titik pada sebuah bidang yang membentuk himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan kedudukan titik (locus of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi. Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat dinyatakan sebagai x² + y² = 1. Secara geometris, hanya titik-titik berjarak 1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi kedudukan titik yang dinyatakan oleh persamaan x² + y² = 1. 

Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental LocusTheorems) sebagai berikut.

Pertanyaaan: Apabila suatu titik berjarak sama dengan titik-titik lainnya maka berbentuk apakah kumpulan dari titik-titik tersebut?? Jawab: Apabila suattu titik berjarak sama dengan titik-titik lainnya maka kumpulan tiitik-titik tersebut akan membentuk suatu lingkaran, hal itu dapat dijelaskan dalam teorema berikut, Teorema 1.1 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik P adalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d

teorema 1.1

• Pertanyaan:

Apabila posisi titik-titik yang berjarak sama dengan suatu garis  l , maka akan berbentuk apakah kumpulan titik-titik tersebut?

• Jawab:

Posisi titi-titik yang berjarak sama dengan garis l , akan membentuk garis sejajar,karena garis panjangnya tidak terdefinisi maka sisi kanan dan kiri pada garis tidak bisa dibuat titik-titik pembentuk garis yang sejajar, ini berlaku pada teorema 1.2

Teorema 1.2

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l

teorema 1.2

Teorema 1.3

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis

  dan membagi menjadi dua bagian sama besar

teorema 1.3

• Pertanyaan:

Apabila terdapat titik-titik yang berjarak sama antara dua garis sejajar,maka bentuk dari kumpulan titik tersebut adalah?

• Jawab:

Apabila terdapat titik-titik yang berjarak sama antara dua garis sejajar,maka bentuk dari kumpulan titik tersebut adalah garis diantara keduanya dan sejajar tehadap kedua garis tersebut, seperti pada teorema berikut:

Teorema 1.4

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l₁ dan l₂ merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut. 

teorema 1.4

Teorema 1.5

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l₁ dan l₂, adalaha sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l₁ dan l_2.

teorema 1.5

 

Teorema 1.6

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle).

teorema 1.6

Teorema 1.7

Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya.

teorema 1.7

Note:

 Lingkaran konsentris adalah dua buah lingkaran yang memiliki sau buah titik pusat yang sama dan memiliki jari-jari yang berbeda.

Teorema 1.8

Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.

teorema 1.8

Teorema 1.9

Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.

teorema 1.9

   4. Sistem koordinat kartesian tegak lurus.

Untuk mnemukan letak/posisi titik pada suatu bidang datar diperlukan suatu patokan mula. Patokan mula ini dapat diambil dua garis yang saling tegak lurus seperti gambar berikut:

koordinat cartesius

Dua garis yang saling tegak lurus tersebut pada umumnya salah satu digambar mendatar(horizontal) dan yang lain digambar tegak (vertikal). Tiik potong dua garis tersebut biasanya diberi nama 0 dan disebut titik asal (awal). Garis yang mendatar disebut sumbu X. Pada sumbu X dari titik 0 kekanan disebut arah positif atau sumbu X positif. Sedangkan dari titik 0 ke kiri dikatakan arah negatifatau sumbu X negatif.garis yang (vertikal) tegak dinamakan sumbu Y , pada sumbu Y dari titik 0 ke atas dikatakan arah positif atau disebut sumbu Y positif dan dari titik 0 kebawah dikatakan arah negatif atau sumbu Y negatif.

dua garis yang saling tegak lurus dengan ketentuan-ketentuan seperti itu biasa dinamakan siistem koordinat kartesian tegak lurus. Sistem koordinat ini dapat dipergunakan untuk menentukan letak/posisi suatu titik pada datar tersebut terhadap kedua garis itu.

nah teman-teman gimana nih udah jelas tentang penjelasan mengenai koordinat kartesius??

Oiya saya mau nambahin dikit ni, mengenai penjelasan pada gambar kalau Panjang OA = a menyatakan absis (absisca) titik P. Panjang AP = OB = b menyatakan ordinat (ordinate) titik P. Koordinat titik P dinyatakan oleh pasangan berurutan (a, b). Titik pangkal O biasanya dinyatakan oleh koordinat (0, 0).

Sumbu- sumbu koordinat,yaitu sumbu x dan sumbu y, membagi bidang datar menjadi 4 daerah yang masing-masing disebut kuadran, yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV seperti gambar berikut ini:

5.      Jarak dua titik pada bidang datar 

Teorema 1.10 :  
Koordinat titik tengah P(x, y) pada sebuah ruas garis yang titik-titik ujungnya adalah A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) adalah x = ½ (x₁+ x₂) dan y = ½ (y₁ + y₂) 
Pembuktian teorema terdapat pada buku Geometri Analitik Bidang dan Ruang PGMT3839/3SKS Modul1-9 (Sukirman, 1994 : 5

• Koordinat-koordinat titik  tengah sebuah ruas garis yang titik-titik ujungnya A(x_1,y₁) dan B(x_2,y2) adalah 

 

Teorema 1.11 :

apabila diketahui P(x_1,y₁) dan Q(x_2,y₂) serta titik T pada ruas garis PQ sedemikan sehingga |PT| : |TQ| = m : n, maka koordinat-koordinat titik T adalah :

,             
Pembuktian teorema terdapat pada buku Geometri Analitik Bidang dan Ruang PGMT3839/3SKS Modul1-9 (Sukirman, 1994 : 6 - 7).

• Jika diketahui koordinat titik-titik maka jarak antara dua titik dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan koordinat titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ABC dengan titik C(x₂, y₁) seperti pada gambar di bawah ini Maka jarak titik A dan B yaitu