BAB III. ELIPS, PARABOLA DAN HIPERBOLA

Hay guys, pada bab ini kita akan membahas tentang elips,parabola, dan hiperbola
teman-teman pasti sudah melihat bentuk elips,parabola maupun hiperbola  dalam kehidupan nyata kan...!!
pasti sudah dong!! nah untuk lebih pahamnya lagi yukk ikuti blog kita....
nih contoh  pengaplikasiannya dalam kehidupan kita....

gambar diatas menujukan salah satu dari sekian banyak bentuk elips

Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola.

A. Elips

    Elips adalah himpunan semua titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya dari definisi tersebut. 

 

Titik F₁ dan F₂ disebut titik apu atau fokus.

AB disebut sumbu panjang : |AB| = 2a

CD disebut sumbu pendek

Titik-titik A, B, C dan D disebut puncak-puncak ellips.

|TF₁| + |TF₂| = PQ = 2a

Kedua ruas dikuadratkan :

Kedua ruas dikuadratkan lagi :

Karena a > 0 maka a² - c² > 0 maka a² - c² = b²

merupakan persamaan elips dengan pusat O(0,0) yang sumbu panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.

Contoh :
Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut ini :
a) 9x² + 25y² = 900
Jawab:




B. Parabola

Parabola adalah kedudukan titik-titik yang bergerak sama dari suatu titik dan suatu garis tertentu. 

• Titik itu disebut fokus/titik api (F)
• Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
• Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola
• Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
• Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu simetri

Contoh gambar:

Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1

Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1

Contoh :
Tentukan persamaan parabola dengan puncak (0,0), sumbu x sebagai sumbu simetri dan melalui titik (4, -8).
Jawab :
Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan sumbu x sebagai sumbu simetri adalah y² = 4px.
Sekarang kita perhatikan parabola melalui titik ( 4 , -8) berarti x = 4 dan y = -8. Kemudian nilai – nilai ini kita masukkan ke persamaan parabola.

y² = 4px

(-8)² = 4p.4

64 = 16p

p =

p = 4

jadi, persamaan parabola tersebut adalah y² = 4px y² = 16x.


C. Hiperbola 

Hiperbola adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang dimana selisih jarak titik terhadap dua titik fokusnya (F1 dan F2 ) konstan.

                                                         

                                                                                

1. Persamaan Hiperbola

 

 

 2.  Aplikasi Hiperbola

•   Hiperbola sering muncul sebagai grafik dari persamaan-persamaan kimia, fisika, biologi dan ekonomi (Hukum Boyle, Hukum Ohm, kurva permintaan dan penawaran)

•   Sebuah aplikasi khusus dari hiperbola yaitu sistem navigasi pada Perang Dunia I and II

 

Contoh:
       Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui puncaknya P₁(-5, 0) dan P₂(5, 0) serta fokusnya F₁(-8,0) dan F₂(8, 0) !
Jawab:
Puncak (, 0), maka a = 5
Fokus (, 0), maka c = 8
b² = c² – a² = 64 -25 = 39
Persamaan hiperbola :